ทีมนักคณิตศาสตร์ได้ก้าวไปสู่การตอบคำถามเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ล้านดอลลาร์อายุ 160 ปีหรือไม่?
อาจจะ. ลูกเรือแก้คำถามอื่น ๆ อีกจำนวนน้อยในสาขาหนึ่งที่เรียกว่าทฤษฎีจำนวน และในการทำเช่นนั้นพวกเขาได้เปิดถนนสายเก่าซึ่งอาจนำไปสู่คำตอบสำหรับคำถามเก่า: สมมติฐานของรีมันน์ถูกต้องหรือไม่?
สมมติฐานของ Reimann คือการคาดเดาทางคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐานที่มีผลกระทบอย่างมากต่อส่วนที่เหลือของคณิตศาสตร์ มันเป็นรากฐานสำหรับความคิดทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ - แต่ไม่มีใครรู้ว่ามันเป็นเรื่องจริง ความถูกต้องได้กลายเป็นหนึ่งในคำถามเปิดที่มีชื่อเสียงที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์ มันเป็นหนึ่งในเจ็ดของ "ปัญหาในสหัสวรรษ" ที่วางไว้ในปี 2000 โดยสัญญาว่าใครก็ตามที่แก้ปัญหาจะได้รับ 1 ล้านเหรียญ (มีเพียงหนึ่งในปัญหาที่ได้รับการแก้ไข)
ความคิดนี้มาจากไหน
ย้อนกลับไปในปีพ. ศ. 2402 นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันชื่อแบร์นฮาร์ดรีมันน์เสนอคำตอบของสมการทางคณิตศาสตร์ที่ยุ่งยากโดยเฉพาะ สมมติฐานของเขาเป็นเช่นนี้: ส่วนที่แท้จริงของศูนย์ซีตาของ Riemann ที่ไม่สำคัญคือ 1/2. นั่นเป็นคำสั่งทางคณิตศาสตร์ที่เป็นนามธรรมที่เกี่ยวกับตัวเลขที่คุณสามารถใส่ลงในฟังก์ชั่นทางคณิตศาสตร์ที่เฉพาะเจาะจงเพื่อทำให้ฟังก์ชันนั้นเท่ากับศูนย์ แต่มันกลับกลายเป็นเรื่องที่สำคัญอย่างยิ่งสิ่งสำคัญที่สุดเกี่ยวกับคำถามที่ว่าคุณจะต้องเผชิญกับจำนวนเฉพาะเมื่อคุณนับเข้าหาอนันต์
เราจะกลับไปดูรายละเอียดของสมมติฐานในภายหลัง แต่สิ่งสำคัญที่ควรทราบในตอนนี้คือหากสมมติฐานของ Riemann เป็นจริงมันจะตอบคำถามจำนวนมากในวิชาคณิตศาสตร์
“ บ่อยครั้งในทฤษฎีเชิงตัวเลขสิ่งที่เกิดขึ้นคือถ้าคุณสมมุติว่า Riemann คุณสามารถพิสูจน์ผลลัพธ์อื่น ๆ ได้ทุกประเภท” Lola Thompson นักทฤษฎีจำนวนหนึ่งของ Oberlin College ในโอไฮโอที่ไม่เกี่ยวข้อง ในการวิจัยล่าสุดนี้กล่าวว่า
บ่อยครั้งที่เธอบอกวิทยาศาสตร์สดนักทฤษฎีจำนวนหนึ่งจะพิสูจน์ว่ามีบางสิ่งที่เป็นจริงถ้าสมมติฐานของรีมันน์เป็นจริง จากนั้นพวกเขาจะใช้การพิสูจน์ว่าเป็นหินที่ก้าวไปสู่การพิสูจน์ที่สลับซับซ้อนมากขึ้นซึ่งแสดงให้เห็นว่าข้อสรุปดั้งเดิมของพวกเขานั้นเป็นจริงไม่ว่าสมมติฐานของรีมันน์จะเป็นจริงหรือไม่
ความจริงที่ว่ากลอุบายนี้ใช้งานได้ทำให้นักคณิตศาสตร์หลายคนโน้มน้าวใจว่าสมมติฐานของรีมันน์จะต้องเป็นจริง
แต่ความจริงก็คือไม่มีใครรู้แน่นอน
ก้าวเล็ก ๆ สู่การพิสูจน์?
แล้วนักคณิตศาสตร์กลุ่มเล็ก ๆ คนนี้ดูเหมือนจะทำให้เราเข้าใกล้ทางออกมากขึ้นได้อย่างไร?
"สิ่งที่เราทำในบทความของเรา" Ken Ono นักทฤษฎีจำนวนหนึ่งของ Emory University และผู้เขียนร่วมของหลักฐานใหม่กล่าว "เรากลับมาใช้เกณฑ์ทางเทคนิคมากซึ่งเทียบเท่ากับสมมติฐานของ Riemann ... และเราก็ได้พิสูจน์แล้วว่า ส่วนหนึ่งของมันเราได้พิสูจน์เกณฑ์นี้เป็นจำนวนมาก "
"เกณฑ์ที่เทียบเท่ากับสมมติฐานของรีมันน์" ในกรณีนี้หมายถึงคำแถลงแยกต่างหากที่เทียบเท่ากับสมมติฐานทางคณิตศาสตร์ของรีมันน์
ไม่ชัดเจนในตอนแรกว่าทำไมทั้งสองคำสั่งจึงเชื่อมโยงกัน (เกณฑ์เกี่ยวข้องกับบางสิ่งที่เรียกว่า "ความเกินความจริงของพหุนาม Jensen") แต่ในปี ค.ศ. 1920 นักคณิตศาสตร์ชาวฮังการีชื่อ George Pólyaพิสูจน์ว่าหากเกณฑ์นี้เป็นจริงแล้วสมมติฐานของ Riemann นั้นเป็นจริง มันเป็นเส้นทางที่นำเสนอไปสู่การพิสูจน์สมมติฐาน แต่เป็นเส้นทางที่ถูกทอดทิ้งเป็นส่วนใหญ่
Ono และเพื่อนร่วมงานของเขาในบทความที่ตีพิมพ์ในวันที่ 21 พฤษภาคมในวารสาร Proceedings of Natural Academy of Sciences (PNAS) พิสูจน์ว่าในหลาย ๆ กรณีหลาย ๆ กรณีเกณฑ์เป็นจริง
แต่ในวิชาคณิตศาสตร์หลายคนไม่เพียงพอที่จะนับเป็นข้อพิสูจน์ ยังมีบางกรณีที่พวกเขาไม่รู้ว่าเกณฑ์เป็นจริงหรือเท็จ
“ มันเหมือนกับการเล่นลอตเตอรี่จำนวนล้าน” โอโน่กล่าว "และคุณรู้ว่าตัวเลขทั้งหมด แต่สุดท้าย 20. ถ้าแม้แต่หนึ่งใน 20 หมายเลขสุดท้ายเหล่านั้นผิดคุณจะสูญเสีย ... มันก็ยังคงสลายไปทั้งหมด"
นักวิจัยจะต้องมีการพิสูจน์ที่ก้าวหน้ายิ่งขึ้นเพื่อแสดงให้เห็นว่าเกณฑ์นั้นเป็นจริงในทุกกรณีซึ่งเป็นการพิสูจน์สมมติฐานของรีมันน์ และยังไม่ชัดเจนว่าหลักฐานดังกล่าวอยู่ไกลแค่ไหนโอโน่กล่าว
ดังนั้นบทความนี้มีมูลค่าเท่าใด
ในแง่ของสมมติฐานของรีมันน์มันยากที่จะบอกว่าข้อตกลงนี้มีขนาดใหญ่เพียงใด มากขึ้นอยู่กับสิ่งที่เกิดขึ้นต่อไป
“ นี่เป็นเพียงหนึ่งในสูตรที่เทียบเท่าหลาย ๆ อย่างของสมมติฐานของ Riemann” Thompson กล่าว
กล่าวอีกนัยหนึ่งมีความคิดอื่น ๆ อีกมากมายที่เช่นเดียวกับเกณฑ์นี้จะพิสูจน์ว่าสมมติฐานของ Riemann นั้นเป็นจริงหากพวกเขาได้รับการพิสูจน์แล้ว
“ ดังนั้นมันยากจริง ๆ ที่จะทราบว่าความก้าวหน้านี้มากเพียงใดเพราะในมือข้างหนึ่งมีความก้าวหน้าในทิศทางนี้ แต่มีสูตรที่เทียบเท่ากันมากมายซึ่งบางทีทิศทางนี้อาจไม่ได้ให้สมมติฐานของรีมันน์บางทีอาจเป็นหนึ่งใน ถ้ามีใครสามารถพิสูจน์ทฤษฎีดังกล่าวได้ "Thompson กล่าว
หากหลักฐานปรากฏขึ้นตามรอยทางนี้ก็น่าจะหมายความว่าโอโนะและเพื่อนร่วมงานของเขาได้พัฒนากรอบการทำงานพื้นฐานที่สำคัญสำหรับการแก้สมมติฐานของรีมันน์ แต่ถ้ามันเกิดขึ้นที่อื่นเอกสารนี้จะกลายเป็นเรื่องสำคัญน้อยลง
ถึงกระนั้นนักคณิตศาสตร์ก็ยังประทับใจ
“ แม้ว่าสิ่งนี้จะยังห่างไกลจากการพิสูจน์สมมติฐานของ Riemann แต่มันก็เป็นก้าวสำคัญไปข้างหน้า” Encrico Bombieri นักทฤษฎีจำนวนมากของ Princeton ที่ไม่ได้เกี่ยวข้องกับการวิจัยของทีมเขียนไว้ในบทความ PNAS เมื่อวันที่ 23 พฤษภาคม "ไม่ต้องสงสัยเลยว่าบทความนี้จะสร้างแรงบันดาลใจในการทำงานขั้นพื้นฐานเพิ่มเติมในด้านอื่น ๆ ของทฤษฎีจำนวนรวมทั้งในวิชาฟิสิกส์คณิตศาสตร์"
(Bombieri ได้รับรางวัล Fields Medal - รางวัลอันทรงเกียรติที่สุดในคณิตศาสตร์ - ในปี 1974 ส่วนใหญ่สำหรับงานที่เกี่ยวข้องกับสมมติฐานของ Riemann)
สมมติฐานของรีมันน์หมายความว่าอย่างไร
ฉันสัญญาว่าเราจะกลับมาที่นี่ นี่คือสมมติฐานของ Riemann อีกครั้ง: ส่วนที่แท้จริงของศูนย์ซีตาของ Riemann ที่ไม่สำคัญทุกตัวคือ 1/2.
เรามาทำลายมันตามวิธีที่ ธ อมป์สันกับโอโน่อธิบาย
ก่อนอื่นฟังก์ชันซีตา Riemann คืออะไร
ในวิชาคณิตศาสตร์ฟังก์ชันคือความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกัน คนธรรมดาอาจมีลักษณะเช่นนี้: y = 2x
ฟังก์ชันซีตา Riemann เป็นไปตามหลักการพื้นฐานเดียวกัน มันซับซ้อนกว่าเท่านั้น นี่คือสิ่งที่ดูเหมือนว่า
เป็นผลรวมของลำดับอนันต์โดยที่แต่ละคำศัพท์ - สองสามคำแรกคือ 1/1 ^ s, 1/2 ^ s และ 1/3 ^ s - จะถูกเพิ่มไปยังคำก่อนหน้า จุดไข่ปลาเหล่านั้นหมายถึงซีรีส์ในฟังก์ชั่นที่เกิดขึ้นอย่างต่อเนื่องตลอดไป
ตอนนี้เราสามารถตอบคำถามที่สอง: ฟังก์ชันซีตา Riemann ซีโร่คืออะไร?
มันง่ายกว่านี้ "ศูนย์" ของฟังก์ชั่นคือจำนวนใด ๆ ที่คุณสามารถใส่ในสำหรับ x ที่ทำให้ฟังก์ชั่นให้เท่ากับศูนย์
คำถามถัดไป: "ส่วนจริง" ของหนึ่งในศูนย์เหล่านั้นคืออะไรและมันหมายความว่ามันเท่ากับ 1/2?
ฟังก์ชันซีตาของ Riemann เกี่ยวข้องกับสิ่งที่นักคณิตศาสตร์เรียกว่า "จำนวนเชิงซ้อน" จำนวนเชิงซ้อนมีลักษณะดังนี้: a + b * i
ในสมการนั้น "a" และ "b" หมายถึงจำนวนจริงใด ๆ จำนวนจริงสามารถเป็นอะไรก็ได้ตั้งแต่ลบ 3 ถึงศูนย์ถึง 4.9234, pi หรือ 1 พันล้าน แต่มีอีกจำนวนหนึ่ง: ตัวเลขในจินตนาการ จำนวนจินตภาพเกิดขึ้นเมื่อคุณหาสแควร์รูทของจำนวนลบและมันสำคัญที่แสดงในบริบททางคณิตศาสตร์ทุกชนิด
จำนวนจินตภาพที่ง่ายที่สุดคือสแควร์รูทของ -1 ซึ่งเขียนเป็น "i" จำนวนเชิงซ้อนคือจำนวนจริง ("a") บวกอีกจำนวนจริง ("b") คูณ i "ส่วนจริง" ของจำนวนเชิงซ้อนคือ "a."
ศูนย์สองสามฟังก์ชันของ Riemann zeta ซึ่งเป็นจำนวนเต็มลบระหว่าง -10 ถึง 0 จะไม่นับสำหรับสมมติฐานของ Reimann เหล่านี้ถือเป็นศูนย์ "เล็กน้อย" เพราะเป็นจำนวนจริงไม่ใช่จำนวนเชิงซ้อน เลขศูนย์อื่น ๆ ทั้งหมดเป็น "แบบไม่สำคัญ" และตัวเลขที่ซับซ้อน
สมมติฐานของ Riemann กล่าวว่าเมื่อฟังก์ชันซีตา Riemann ตัดผ่านศูนย์ (ยกเว้นค่าศูนย์ระหว่าง -10 ถึง 0) ส่วนที่แท้จริงของจำนวนเชิงซ้อนต้องเท่ากับ 1/2
การอ้างสิทธิ์เล็กน้อยนั้นอาจฟังดูไม่สำคัญนัก แต่มันคือ. และเราอาจอยู่ใกล้กับการแก้ปัญหาเล็กน้อย
