ความรู้สึกทางฟิสิกส์ของฉันบอกฉันว่าความเร็วของการทิ้งคือความเร็วในการหลบหนี
การย่อขนาดนี้อาจทำงานได้ดีขึ้นด้วยอัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงพลังงานทั้งหมดของระบบดาวเคราะห์น้อยและวัสดุที่ถูกปล่อยออกมาเป็นพลังงานของวัสดุที่ถูกปล่อยออกมา สมการจรวดช่วยได้บ้าง สมการจรวดคือการอนุรักษ์โมเมนตัมด้วย
d (mv) / dt = 0 -> (m -? m) (v +? v) -? mV = 0
โดยที่ V คือความเร็วมวลปฏิกิริยา,? v และ? m คือการเปลี่ยนแปลงความเร็วและการสูญเสียมวลของ“ จรวด” หรือในกรณีนี้ดาวเคราะห์น้อยและ m และ v คือมวลเริ่มต้นและความเร็วของวัตถุ เราตั้งค่า v = 0 และรับ
? v = V (? m / m)
และความเร็วที่รวมเข้าด้วยกันคือ v = V ln (m_i / m_f) สำหรับ m_i มวลเริ่มต้นและ m_f มวลสุดท้าย หากการเปลี่ยนแปลงของมวลมีน้อยเรามี
v ~ = V (m_i / m_f - 1)
และโมเมนตัมของดาวเคราะห์น้อยที่สุดคือ p ~ = V (m_i - m_f) ตอนนี้เราปล่อย V = u - v_e สำหรับ v_e ความเร็วการหลบหนีและความเร็วของวัตถุที่ถูกเหวี่ยงออกไป นี่หมายถึง V คือความเร็วของวัตถุที่ถูกทิ้ง "ที่ระยะอนันต์"
ทีนี้สมมติว่าเราต้องการลดพลังงานจลน์ของดาวเคราะห์น้อย K = (1/2) p ^ 2 / m_f สำหรับการขับออกพลังงานจลน์ E = (1/2)? mu ^ 2 เราสร้างอัตราส่วนไร้มิติ
R = p ^ 2 / m_f / (? mu ^ 2 / = (p / u) ^ 2 / (? mm_f) = (? m / m_f) (1 - v_e / u) ^ 2
BTW เป็นสิ่งสำคัญในการทำงานกับอัตราส่วนไร้มิติ ดังนั้นเราจะย่อให้เล็กลงเพื่อหา? m และคำนวณ u ดังนั้นเราจึงย่อเล็กสุด
F (u) = (1 - v_e / u) ^ 2, -> dF (u) / du = -2 (1 - v_e / u) * v_e / u ^ 2,
และนี่คือศูนย์ที่ v_e = u ดูเหมือนจะแปลกเล็กน้อยที่มีสูตรสมการจรวด แต่ฉันจะพูดถึงข้างล่างนี้
จากนั้นเราหาอนุพันธ์อันดับสองเพื่อพิจารณาว่านี่เป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุดและเราได้รับหรือไม่
d ^ 2F (u) / du ^ 2 = 4 (1 - v_e / u) * (v_e / u ^ 2) ^ 2 - 2 (v_e / u ^ 2) ^ 2
ซึ่ง u = v_e คือ -2 <0 และมันคือนาทีสิ่งที่เราต้องการ เป็นที่ชัดเจนว่า u = v_e เป็นพลังงานจลน์ขั้นต่ำที่เราสามารถให้มวลได้
มันฟังดูแปลกที่เรามี v ~ = V (m_i / m_f - 1) ซึ่งสำหรับ V = u - v_e เป็นศูนย์ที่ u = v_e อย่างไรก็ตามสำหรับ u = v_e ดาวเคราะห์น้อยก็เคลื่อนออกไปจนกระทั่งวัตถุที่ถูกเหวี่ยงออกไปถึงระยะอนันต์ จุดประสงค์ของการทำเช่นนี้คือการสร้างการกระจัดของดาวเคราะห์น้อยและเมื่อวัตถุที่ถูกเหวี่ยงออกไปถึง“ อินฟินิตี้” ดาวเคราะห์น้อยจะถึงระยะการกระจัดออกไป
LC
