"สู่ความเวิ้งว้างอันไกลโพ้น!"
คุณเคยคิดอย่างลึกซึ้งเกี่ยวกับบทกลอนที่โด่งดังของ Buzz Lightyear จากภาพยนตร์เรื่อง "Toy Story" หรือไม่? อาจจะไม่. แต่บางทีคุณอาจเงยหน้าขึ้นมองท้องฟ้ายามค่ำคืนและสงสัยเกี่ยวกับธรรมชาติของอินฟินิตี้
อินฟินิตี้เป็นแนวคิดแปลก ๆ ที่สมองของมนุษย์มีช่วงเวลาที่ยากลำบากล้อมรอบความเข้าใจอัน จำกัด เราบอกว่าเอกภพอาจไม่มีที่สิ้นสุด แต่จริงๆแล้วมันสามารถดำเนินต่อไปได้หรือไม่? หรือตัวเลขของไพหลังจากทศนิยม - จริง ๆ แล้วมันจะทำงานอย่างไม่มีที่สิ้นสุดทำให้เรามีความแม่นยำมากขึ้นเกี่ยวกับอัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวงและรัศมีของวงกลม? และ Buzz จะพูดถูกหรือไม่ มีบางสิ่งที่เกินความอินฟินิตี้หรือไม่?
เพื่อรับมือกับการคาดเดาที่ไม่น่าเชื่อ Live Science ได้ขอความช่วยเหลือจากนักคณิตศาสตร์ Henry Towsner จากมหาวิทยาลัยเพนซิลวาเนียในฟิลาเดลเฟียผู้ใจดีพอที่จะตอบคำถามนี้ได้ (ถูกเตือนล่วงหน้า: สิ่งนี้จะยุ่งยากมากขึ้น)
ไม่มีที่สิ้นสุด Towsner พูดนั่งอยู่ในสถานที่แปลก ๆ : คนส่วนใหญ่รู้สึกว่าพวกเขามีสัญชาตญาณเกี่ยวกับแนวคิด แต่ยิ่งพวกเขาคิดเกี่ยวกับมันมากเท่าใด
ในทางกลับกันนักคณิตศาสตร์ไม่ได้คิดว่าอินฟินิตี้เป็นแนวคิดของตนเอง แต่พวกเขาใช้วิธีการต่าง ๆ ในการคิดพิจารณาเพื่อให้ได้ในหลาย ๆ ด้าน
ตัวอย่างเช่นมีขนาดแตกต่างกันไป สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์โดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันชื่อ Georg Cantor ในช่วงปลายปี 1800 ตามประวัติของมหาวิทยาลัย St Andrews ในสกอตแลนด์
คันทอร์รู้ว่าตัวเลขธรรมชาติ - นั่นคือทั้งหมดบวกจำนวนเช่น 1, 4, 27, 56 และ 15,687 - ไปตลอดกาล พวกมันไม่มีที่สิ้นสุดและพวกเขาก็เป็นสิ่งที่เราใช้นับสิ่งต่างๆดังนั้นเขาจึงกำหนดให้พวกเขาเป็น "อนันต์นับไม่ถ้วน" ตามเว็บไซต์ที่เป็นประโยชน์เกี่ยวกับประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์และหัวข้ออื่น ๆ จากนักเขียนการ์ตูนทางการศึกษา Charles Fisher Cooper
กลุ่มของตัวเลขที่นับไม่ถ้วนนับได้มีคุณสมบัติที่น่าสนใจ ตัวอย่างเช่นตัวเลขคู่ (2, 4, 6, ฯลฯ ) ก็มีไม่ จำกัด เช่นกัน และในขณะที่มีเทคนิคครึ่งหนึ่งเป็นจำนวนมากตามที่ครอบคลุมโดยตัวเลขเต็มชุดพวกเขายังคงไม่มีที่สิ้นสุดชนิดเดียวกัน
กล่าวอีกนัยหนึ่งคุณสามารถวางจำนวนคู่ทั้งหมดและจำนวนธรรมชาติทั้งหมดเคียงข้างกันในสองคอลัมน์และคอลัมน์ทั้งสองจะไปไม่มีที่สิ้นสุด แต่พวกเขาจะเหมือนกัน "ยาว" ของอินฟินิตี้ นั่นหมายความว่าครึ่งหนึ่งของอินฟินิตี้นับได้ยังคงเป็นอินฟินิตี้
แต่ความเข้าใจที่ยอดเยี่ยมของคันทอร์ก็คือการตระหนักว่ามีจำนวนชุดอื่น ๆ ที่ไม่มีที่สิ้นสุดนับไม่ถ้วน ตัวเลขจริง - ซึ่งรวมถึงจำนวนธรรมชาติเช่นเดียวกับเศษส่วนและจำนวนอตรรกยะเช่นไพ - ไม่มีที่สิ้นสุดมากกว่าจำนวนธรรมชาติ (หากคุณต้องการทราบว่าคันทอร์ทำอย่างไรและสามารถจัดการกับสัญกรณ์คณิตศาสตร์ได้คุณสามารถตรวจสอบแผ่นงานนี้ได้จาก University of Maine)
หากคุณต้องจัดเรียงจำนวนธรรมชาติทั้งหมดและจำนวนจริงทั้งหมดเคียงข้างกันในสองคอลัมน์ตัวเลขจริงจะยืดออกไปจนไม่มีที่สิ้นสุดของจำนวนธรรมชาติ ต้นเสียงก็บ้าไปแล้วด้วยเหตุผลที่ไม่เกี่ยวกับงานของเขาที่ไม่มีที่สิ้นสุด
การนับคืออะไร
ดังนั้นกลับไปที่คำถามการนับอินฟินิตี้ที่ผ่านมา “ คณิตศาสตร์ที่ทำให้คุณถามคือ 'นั่นหมายความว่าจริง ๆ ?” Towsner กล่าว "คุณหมายถึงอะไรโดยการนับอินฟินิตี้ที่ผ่านมา?"
เพื่อให้ได้รับปัญหา Towsner พูดคุยเกี่ยวกับหมายเลขลำดับ แตกต่างจากหมายเลขที่สำคัญ (1, 2, 3 และอื่น ๆ ) ซึ่งบอกคุณว่ามีหลายสิ่งอยู่ในชุดเลขลำดับจะถูกกำหนดโดยตำแหน่งของพวกเขา (แรกสองสาม ฯลฯ ) และพวกเขายังได้รับการแนะนำให้รู้จักกับคณิตศาสตร์โดย คันทอร์ตามเว็บไซต์คณิตศาสตร์ Wolfram MathWorld
ในลำดับเลขเป็นแนวคิดที่เรียกว่าโอเมก้าซึ่งเขียนด้วยตัวอักษรกรีกω, Towsner กล่าว สัญลักษณ์ωหมายถึงสิ่งที่เกิดขึ้นหลังจากตัวเลขธรรมชาติอื่น ๆ - หรืออย่างที่เรียกกันว่าคันทอร์ซึ่งเป็นลำดับที่ transfinite แรก
แต่สิ่งหนึ่งที่เกี่ยวกับตัวเลขก็คือคุณสามารถเพิ่มอีกอันได้ในตอนท้าย Towsner กล่าว ดังนั้นจึงมีสิ่งต่าง ๆ เช่นω + 1 และ even + 2 และแม้แต่ω + ω (ในกรณีที่คุณสงสัยในที่สุดคุณก็กดตัวเลขที่เรียกว่าω1ซึ่งเป็นที่รู้จักกันในชื่อลำดับแรกที่ไม่สามารถนับได้)
และเนื่องจากการนับนั้นเหมือนกับการเพิ่มตัวเลขเพิ่มเติมแนวคิดเหล่านี้จึงช่วยให้คุณสามารถนับอินฟินิตี้ที่ผ่านมาได้ Towsner กล่าว
ความแปลกประหลาดของทั้งหมดนี้เป็นส่วนหนึ่งของเหตุผลที่นักคณิตศาสตร์ยืนยันในการกำหนดเงื่อนไขของพวกเขาอย่างจริงจังเขากล่าวเสริม มันจะยากที่จะแยกสัญชาติญาณมนุษย์ของเราออกจากสิ่งที่พิสูจน์ได้ทางคณิตศาสตร์
“ คณิตศาสตร์กำลังบอกคุณว่า 'วิปัสสนาอย่างลึกซึ้งสิ่งที่จะนับ? "Towsner กล่าว
สำหรับเรามนุษย์ปุถุชนความคิดเหล่านี้อาจเป็นเรื่องยากที่จะคำนวณอย่างเต็มที่ นักคณิตศาสตร์ที่ทำงานอย่างแท้จริงจัดการกับธุรกิจตลกทั้งหมดนี้ได้อย่างไรในการวิจัยแบบวันต่อวัน
“ ส่วนมากเป็นการฝึกฝน” Towsner กล่าว "คุณพัฒนาสัญชาติญาณใหม่ด้วยการเปิดรับและเมื่อปรีชาล้มเหลวคุณสามารถพูดได้ว่า 'เรากำลังพูดถึงหลักฐานที่เข้มงวดทีละขั้นตอนนี้' ดังนั้นหากหลักฐานนี้น่าประหลาดใจเรายังคงสามารถตรวจสอบได้ว่าถูกต้องแล้วเรียนรู้ที่จะพัฒนาสัญชาตญาณใหม่ ๆ
